偶函數加奇函數等于什么函數?

答：偶函數加奇函數的結果是一個既不是偶函數也不是奇函數的函數，除非其中一個是零函數。這是因為偶函數和奇函數的定義具有以下性質：

- 偶函數：滿足 f(-x) = f(x) 對于所有 x 在其定義域內。

- 奇函數：滿足 f(-x) = -f(x) 對于所有 x 在其定義域內。

如果我們將一個偶函數 f_e(x) 和一個奇函數 f_o(x) 相加，得到的新函數 f(x) = f_e(x) + f_o(x)。我們來檢查這個新函數的性質：

對于 f(-x)：

f(-x) = f_e(-x) + f_o(-x)

由于 f_e(x) 是偶函數，我們有 f_e(-x) = f_e(x)。

由于 f_o(x) 是奇函數，我們有 f_o(-x) = -f_o(x)。

因此：

f(-x) = f_e(x) - f_o(x)

這并不等于 f(x) = f_e(x) + f_o(x)，也不等于 -f(x) = -f_e(x) - f_o(x)。因此，f(x) 既不是偶函數也不是奇函數。

然而，如果偶函數或奇函數中的一個是零函數（即對于所有 x，函數值都為零），那么和函數將具有另一個函數的性質。例如，如果 f_e(x) 是非零偶函數而 f_o(x) 是零函數，那么 f(x) = f_e(x) + f_o(x) 將是一個偶函數。同樣，如果 f_o(x) 是非零奇函數而 f_e(x) 是零函數，那么 f(x) 將是一個奇函數。

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