二次函數(shù)的定義和性質(zhì)是什么？
答：二次函數(shù)是一種常見的函數(shù)，其定義和性質(zhì)如下：
1、定義：
二次函數(shù)是指函數(shù)的最高次數(shù)為2的多項式函數(shù)，通常可以表示為以下形式：
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
其中，\( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是常數(shù)，且 \( a \neq 0 \)。如果 \( a = 0 \)，則函數(shù)退化為一次函數(shù)。
2、性質(zhì)：
1. 圖像形狀：
- 二次函數(shù)的圖像是一個拋物線。
- 如果 \( a > 0 \)，拋物線開口向上。
- 如果 \( a < 0 \)，拋物線開口向下。
2. 對稱性：
- 二次函數(shù)的圖像關于一條垂直線對稱，這條線稱為對稱軸。
- 對稱軸的方程是 \( x = -\frac{b}{2a} \)。
3. 頂點：
- 拋物線的頂點是對稱軸上的點，該點是拋物線的最高點或最低點。
- 頂點的坐標是 \( \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \)。
4. 零點（根）：
- 二次函數(shù)可能有兩個零點（實數(shù)根），一個零點（重根），或者沒有零點（復數(shù)根），這取決于判別式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。
- 如果 \( \Delta > 0 \)，函數(shù)有兩個不同的實數(shù)零點。
- 如果 \( \Delta = 0 \)，函數(shù)有一個重根。
- 如果 \( \Delta < 0 \)，函數(shù)沒有實數(shù)零點。
5. 極值：
- 在頂點處，二次函數(shù)達到其最大值或最小值。
- 如果 \( a > 0 \)，頂點是拋物線的最小值點。
- 如果 \( a < 0 \)，頂點是拋物線的最大值點。
6. 單調(diào)性：
- 當 \( x \) 從負無窮增加到頂點的 \( x \) 坐標時，如果 \( a > 0 \)，函數(shù)是遞減的；如果 \( a < 0 \)，函數(shù)是遞增的。
- 當 \( x \) 從頂點的 \( x \) 坐標增加到正無窮時，情況相反。
7. 變換：
- 二次函數(shù)可以通過平移、縮放和反射等變換來得到其他二次函數(shù)。
- 平移變換：\( f(x) = a(x - h)^2 + k \)，其中 \( (h, k) \) 是頂點的坐標。
- 縮放變換：改變 \( a \) 的值可以垂直拉伸或壓縮拋物線。
- 反射變換：改變 \( a \) 的符號可以改變拋物線的開口方向。
這些性質(zhì)是分析和解決二次函數(shù)相關問題的基本工具。